公式渲染示例（KaTeX）
博客已全局接入 KaTeX 公式渲染引擎：正文与评论区均可使用 $...$（行内公式）与 $$...$$（块级公式）书写 LaTeX 数学公式，无需任何额外配置。
一、行内公式
行内公式使用单个美元符包裹：爱因斯坦质能方程 $E = mc^2$ 描述了质量与能量的等价关系；勾股定理 $a^2 + b^2 = c^2$ 是平面几何的基础；欧拉恒等式 $e{i\pi} + 1 = 0$ 被誉为数学中最美的公式；牛顿第二定律 $F = ma$ 则是经典力学的核心。
行内公式可以嵌套上下标与根式：$e{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta$，$\sqrt{a^2 + b^2}$，$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$。
行内公式：$...$（左右各一个美元符，不跨行）
$E = mc^2$
$a^2 + b^2 = c^2$
$e{i\pi} + 1 = 0$
$F = ma$
$e{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta$
$\sqrt{a^2 + b^2}$
$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$二、块级公式（Clapp 频率公式）
频率公式（Clapp）：
$$f = \frac{1}{2\pi\sqrt{L_1 \cdot \left( C_{eq} + C_{V1} + C_{par} \right)}}, \qquad \frac{1}{C_{eq}} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2} + \frac{1}{C_3}$$
代入参数：
$$\frac{1}{C_{eq}} = \frac{1}{120} + \frac{1}{120} + \frac{1}{18} = 0.0722\ \mathrm{pF^{-1}} \Rightarrow C_{eq} = 13.85\ \mathrm{pF}$$
代入 L₁ 后即可求得振荡频率：
$$f = \frac{1}{2\pi\sqrt{22 \times 10^{-9} \cdot \left( 13.85 + C_{V1} + C_{par} \right) \times 10^{-12}}} \approx 270.8\ \mathrm{MHz}$$
块级公式：$$...$$（左右各两个美元符，可跨行）
$$f = \frac{1}{2\pi\sqrt{L_1 \cdot \left( C_{eq} + C_{V1} + C_{par} \right)}}, \qquad \frac{1}{C_{eq}} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2} + \frac{1}{C_3}$$
$$\frac{1}{C_{eq}} = \frac{1}{120} + \frac{1}{120} + \frac{1}{18} = 0.0722\ \mathrm{pF^{-1}} \Rightarrow C_{eq} = 13.85\ \mathrm{pF}$$
$$f = \frac{1}{2\pi\sqrt{22 \times 10^{-9} \cdot \left( 13.85 + C_{V1} + C_{par} \right) \times 10^{-12}}} \approx 270.8\ \mathrm{MHz}$$三、多行公式
使用 aligned 环境对齐多行公式（对齐符 & 在页面源码中写作 &）：
$$\begin{aligned} x + y &= 10 \\ 2x - y &= 4 \end{aligned}$$
使用 cases 环境书写分段函数：
$$f(x) = \begin{cases} x^2, & x \geq 0 \\ -x, & x < 0 \end{cases}$$
推导过程换行对齐：
$$\begin{aligned} S_n &= \sum_{k=1}^{n} k \\ &= \frac{n(n+1)}{2} \end{aligned}$$
aligned 环境（& 为对齐符，换行用 \\）：
$$\begin{aligned} x + y &= 10 \\ 2x - y &= 4 \end{aligned}$$
cases 环境（分段函数）：
$$f(x) = \begin{cases} x^2, & x \geq 0 \\ -x, & x < 0 \end{cases}$$
推导换行对齐：
$$\begin{aligned} S_n &= \sum_{k=1}^{n} k \\ &= \frac{n(n+1)}{2} \end{aligned}$$四、矩阵
矩阵使用 pmatrix / bmatrix 环境：
$$\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \end{pmatrix}$$
行列式：
$$\det(A) = \begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = ad - bc$$
矩阵环境：pmatrix / bmatrix / vmatrix（& 分隔列，\\ 换行）
$$\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \end{pmatrix}$$
$$\det(A) = \begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = ad - bc$$五、微积分
求和（巴塞尔问题）：
$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6}$$
积分（高斯积分）：
$$\int_0^\infty e^{-x^2} \, dx = \frac{\sqrt{\pi}}{2}$$
极限：
$$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1, \qquad \lim_{x \to \infty} \left( 1 + \frac{1}{x} \right)^x = e$$
微分：
$$\frac{d}{dx} \left( e^{kx} \right) = k e^{kx}, \qquad \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} = \frac{1}{c^2} \frac{\partial^2 u}{\partial t^2}$$
求和（巴塞尔问题）：
$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6}$$
积分（高斯积分）：
$$\int_0^\infty e^{-x^2} \, dx = \frac{\sqrt{\pi}}{2}$$
极限：
$$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1, \qquad \lim_{x \to \infty} \left( 1 + \frac{1}{x} \right)^x = e$$
微分：
$$\frac{d}{dx} \left( e^{kx} \right) = k e^{kx}, \qquad \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} = \frac{1}{c^2} \frac{\partial^2 u}{\partial t^2}$$六、符号与希腊字母
常用希腊字母：
$$\alpha \quad \beta \quad \gamma \quad \delta \quad \varepsilon \quad \theta \quad \lambda \quad \mu \quad \pi \quad \rho \quad \sigma \quad \phi \quad \omega \quad \Omega$$
关系符号：$\leq$ $\geq$ $\approx$ $\neq$ $\equiv$ $\propto$ $\in$ $\notin$ $\subset$ $\cup$ $\cap$ $\forall$ $\exists$ $\infty$ $\pm$ $\times$ $\cdot$ $\rightarrow$
组合与矢量：$\binom{n}{k}$，$\vec{F} = m\vec{a}$，$\hat{x}$，$\bar{x}$，$\dot{q}$，$\nabla \times \vec{B} = \mu_0 \vec{J}$
希腊字母（块级）：
$$\alpha \quad \beta \quad \gamma \quad \delta \quad \varepsilon \quad \theta \quad \lambda \quad \mu \quad \pi \quad \rho \quad \sigma \quad \phi \quad \omega \quad \Omega$$
关系符号（行内）：
$\leq$ $\geq$ $\approx$ $\neq$ $\equiv$ $\propto$ $\in$ $\notin$ $\subset$ $\cup$ $\cap$ $\forall$ $\exists$ $\infty$ $\pm$ $\times$ $\cdot$ $\rightarrow$
组合与矢量（行内）：
$\binom{n}{k}$，$\vec{F} = m\vec{a}$，$\hat{x}$，$\bar{x}$，$\dot{q}$，$\nabla \times \vec{B} = \mu_0 \vec{J}$七、代码块中的公式不渲染
为防止误渲染，代码块（pre/code）内的 $$...$$ 保持原文显示，仅用于展示语法源码：
频率公式 (Clapp):
$$f = \frac{1}{2\pi\sqrt{L_1 \cdot \left( C_{eq} + C_{V1} + C_{par} \right)}}$$
代入参数:
$$\frac{1}{C_{eq}} = \frac{1}{120} + \frac{1}{120} + \frac{1}{18} = 0.0722\ \mathrm{pF^{-1}} \Rightarrow C_{eq} = 13.85\ \mathrm{pF}$$八、评论区公式支持
评论区同样支持公式渲染：发评论时直接写 $E = mc^2$ 或 $$...$$ 即可，发布后与预览都会渲染。试试在下方评论区发一条含公式的评论，例如：
$$R_{th} = \frac{T_j - T_a}{P} \qquad \text{（热阻公式示例）}$$
评论区语法与正文完全一致（发布后自动渲染）：
$$R_{th} = \frac{T_j - T_a}{P} \qquad \text{（热阻公式示例）}$$
行内公式：$E = mc^2$
\[\int_a^b f(x)\,dx\]（也支持 \[\] 块级写法）九、维护提示（手写 .astro 时）
在 .astro 页面源码中手写公式时，必须注意以下转义规则。若使用 工具编辑器（/tool-editor-article/）导入/导出，所有转义已自动处理，无需手动修改：
- 花括号
{}必须写成{/}：Astro 编译器会把{当作表达式起始，未转义直接构建报错Syntax error；浏览器解析 DOM 后自动还原为{，KaTeX 正常扫描渲染。 - 对齐符
&必须写成&：aligned / cases / 矩阵环境中的&在 HTML 中是实体起始符，裸写会破坏标签解析。 - 裸
<必须写成<：如x < 0，否则会被当作标签起始，触发 Astro 解析错误。 - 推荐工作流：在工具编辑器粘贴 LaTeX 实时预览 → 导出 .astro（自动转义）→ 部署。手写页面时参考本页代码注释。
✗ 错误：直接粘贴 LaTeX，{ } 未转义 → 构建报错 Syntax error
$$f = \frac{1}{2\pi\sqrt{L_1 \cdot \left( C_{eq} + C_{V1} + C_{par} \right)}}$$
✓ 正确：花括号实体转义（浏览器解析后自动还原，KaTeX 正常渲染）
$$f = \frac{1}{2\pi\sqrt{L_1 \cdot \left( C_{eq} + C_{V1} + C_{par} \right)}}$$
✓ 对齐符 & 写成 &，小于号 < 写成 <：
$$\begin{cases} x^2, & x \geq 0 \\ -x, & x < 0 \end{cases}$$